Distribution tempérée Distribution définie sur l'Espace de Schwartz au lieu de \(\mathcal C_c^\infty\).

• produit au sens des distributions : \(\langle{\psi T,\varphi}\rangle =\langle{T,\psi\varphi}\rangle \)
• Produit de convolution au sens des distributions : \(T*\varphi=t\mapsto\langle{T,\tilde\varphi_t}\rangle \) avec \(\tilde\varphi_t:\tau\mapsto\varphi(t-\tau)\)
• Transformée de Fourier au sens des distributions : \(\langle{{\mathcal F} T,\varphi}\rangle =\langle{T,{\mathcal F}\varphi}\rangle \)
    
• transformée de Fourier inverse au sens des distributions : \(\braket{{\mathcal F}^{-1} T,\varphi}=\braket{T,{\mathcal F}^{-1}\varphi}\)

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quel est l'intérêt de définir les distributions sur l'espace de Schwartz ?
Verso: C'est l'un des seuls espaces où la formule \(\langle{\hat T,\varphi}\rangle =\langle{T,\hat \varphi}\rangle \) est valide.
Bonus: Si \(\varphi\in\mathcal C_c^\infty\) seulement, alors \(\hat\varphi\) n'est pas à support compact d'après le Théorème d'incertitude d'Heisenberg.
Carte inversée ?:
END
'information